litceyvib.ru   1 2 3

Занятие 8.

Цели:
Показать ,что кривые линии привлекают внимание не только изяществом своей формы, но и многими удивительными свойствами


Алгебраические кривые

Посмотрим еще раз на эти кривые в интересном ракурсе - в театре теней. Форма тени от обруча на плоском экране, освещенного точечным источником света (лампочкой), зависит от взаимного расположе­ния обруча, экрана и источника света.

Если весь обруч расположен к экрану ближе, чем источник света, то тень будет эллиптической (рис.18).

Рис 18.

Если одна точка обруча находится на таком же расстоянии от экрана, как источник света, а остальная часть обруча - ближе, то тенью служит парабола (рис. 19). Если же одна часть обруча находится к экрану ближе, чем источник света, а другая часть - дальше то тень, будет гиперболической (рис. 20).

Рис 19,20

ЗАМЕЧАНИЕ. Может случиться, что тенью обруча будет пря­мая или отрезок прямой, если источник света лежит в плоско­сти.

Рассмотрим одну из таких кривых -. множество точек, произведение от которых до данных двух то­чек Рг и Р2 равно данной положительной величине р. Уравнения этих кривых можно записать так:

((х-с)2 + у2)((х + с)2 + у2)=р2, где 2с =F 1F 2.

Такие кривые носят название овалов Кассини. Осо­бенно интересную форму - форму «восьмерки» - име­ет овал Кассини при р = с2 (рис.21). Такая кривая носит название лемнискаты Бернулли.

Рис 21



Рассмотрим еще одну кривую- конхоиду Никомеда. Она определя­ется так: на плоскости фиксируется точка О и прямая l, задается числе а. Через точку О проводят всевоз­можные прямые, на каждой из которых от точки пе­ресечения с прямой l в обе стороны откладываются отрезки длины а. Вторые концы этих отрезков и обра­зуют конхоиду (рис. 22).

Рис 22

Древнегреческий математик НИКОМЕД (III в. до н. э.) с помощью конхоиды решал задачу трисекции угла.

Задача. Поделить угол АОБ на три равные части.

Решение, а) Пусть ОА = а.

б) АВ II ОО, АВ = l

в) Проведем окружность (А;ОА). При ее пересече­
нии с конхоидой, построенной по прямой l, точке О
и числу а = ОА, получим точку С (рис23)

г) СВ = ОА = а (по определению конхоиды )

д) ОА= АС = В, значит ∟АОС = ∟АСО

(АС = СВ)=> ∟ ВАС = ∟АВС

е) ∟ АСО = 2 ∟ СВА (по свойству внешнего угла треугольника) ж)

СВА = ∟ВОЦ

и значит, ∟АОС = 2 СОВ =⅓∟АОО.

АОС = ∟АСО,

Рис 23


Занятие 9.


Цель:
Ввести новые понятия кривой : брахистохроны, циклоида, таутохрона, эпициклоида, кардиоида, астроида.


Механические кривые.

. Декартов лист, гипербола, парабола, эллипс, овал Кассини, конхоида - все это алгебраические кривые. Но уже Галилей и Декарт изучали кривую, описыва­емую точкой окружности, катящейся по прямой, -циклоиду («механическую кривую»). Слово «циклои­да» произошло от греческого слова «сукloеides» - «кру­гообразный». Так назвал эту кривую в 1590 году Га­лилей (рис. 24).


рис24

А 1А2 - основание циклоиды, А3 - вершина, А 3М -высота циклоиды, и дуга А1 А2 А3- арка циклоиды, пря­мая l - линия центров.

Галилей экспериментально установил, что площадь под одной аркой циклоиды в 3 раза больше площади производящего циклоиду круга, а длина дуги арки равна четырем диаметрам круга.

Циклоида имеет ряд замечательных свойств. За одно из них она получила название брахистохроны. Это слово произошло от греческого «,braсhistos», что означает «кратчайший» и «сhгоnоs», что означает «время», т. е. брахистохрона - это кривая наикратчайшего по вре­мени спуска.


Другим синонимом циклоиды является таутохрона (от греческих слов «tautos» - тот же самый, «chronos» - время). Такое название циклоиды связано с истори­ей маятниковых часов, с попыткой ученых создать «идеальный» маятник, т. е. такой маятник, период колебаний которого не зависит от его размаха. Христиан ГЮЙГЕНС, голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник. Он подвесил маятник в острие перевернутой циклоиды (точка О), сделал длину нити равной половине длины арки циклоиды (АО) и дал возможность нити наматываться на циклоидальные «щеки» (ОА и ОВ). При этих условиях конец маятни­ка (Т) движется по циклоиде (таутохроне), а период колебания не зависит от величины начального откло­нения.(рис 25)

Рис 25

Древние ученые не знали циклоиду, но они знали и успешно пользовались ее близкой родственницей -эпициклоидой, плоской кривой, описываемой точкой окружности, которая катится без скольжения по дру­гой неподвижной окружности, касаясь ее извне (рис. 26).



Рис 26

Если радиус неподвижной окружности равен ра­диусу подвижной, то эпициклоиду называют кардиоидой (рис27)

Рис 27

. Другой «родственницей» циклоиды является гипо­циклоида - плоская кривая, описываемая точкой ок­ружности, катящейся внутри и без скольжения по другой неподвижной окружности (рис. 28). В зависи­мости от соотношения длин радиусов подвижной и неподвижной окружностей, получаются различные формы гипоциклоид. Если радиус неподвижной ок­ружности в 4 раза больше радиуса подвижной, то эта гипоциклоида называется астроидой (рис. 29).








Рис 28, 29

Задачи, приводящие к циклоиде, сыграли огром­ную роль в становлении механики и математического анализа.


Занятие 10.


Цель:
расширить их математический и общенаучный кругозор.

провести круглый стол .


Ученик имеет возможность выступить с подготовленным сообщением (презентации, доклады, буклеты): эллипс, циссоида Диоклеса, квадратриса, кривая Гиппия, «Пируэты» окружности, кривая Штейнера.


Занятие 11.


Цель:
помочь учащимся отойти от математических штампов;

- обеспечить развитие навыков самообразования через поисковую работу;

Подготовленные сообщения (презентации, доклады, буклеты): гипотрохоиды и эпитрохоиды. Специально подобранными математическими зависимостями приготовить математический цветник. В наши дни подобные эксперименты удобно проводить, имея под рукой персональный компьютер .



Литература:


  1. №41 год1997 газета МАТЕМАТИКА автор Е.Смирнова

  2. А.И.Маркушевич. Замечательные кривые. М., Гос. издательство литературы 1952

  3. Н.Б.Васильев, В.Л.Гутенмахер. Прямые и кривые.М,Наука,1978

  4. Энциклопедия для детей.Т.11.Математика.Э68 Ред.коллегия:М.Аксенова, В.Володин и др.-М.: Аванта 2005.-688с.ил

ISBN 5-98986-017-x

5. Учебник Геометрии, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.А. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др / -15-е изд.- М.: Просвещение, 2006.- 258 с.: ил. .- ISВN 5-09-015051-6.

6. Факультативный курс по математике. Сост. И.Л. Никольская.М.,Просвещение,1991.с. 135-171.


<< предыдущая страница