litceyvib.ru 1 2 3

МОУ «Гимназия с. Ивантеевка


Ивантеевского района Саратовской области»


Элективный курс

для предпрофильного обучения по математике «Замечательные точки ,прямые, окружности, кривые»


Автор:


Малюкина Полина Васильевна, учитель математики МОУ «Гимназия с. Ивантеевка Ивантеевского района Саратовской области»


2009 год

«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ, ПРЯМЫЕ И ОКРУЖНОСТИ»


Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс предпрофильной подготовки предназначен для учащихся 8 классов, ориентированных на выбор естественно научного

профиля, рассчитан на 12 часов.

Курс посвящен замечательным точкам, прямым, окружностям, кривым.

. На мы часто встречаемся с ними не только в математике, но и в других сферах деятельности и курс «Замечательные точки ,прямые, окружности .

,кривые » позволит углубить знания учащихся, заглянув в прошлое . Данный курс имеет большой развивающий потенциал, так как способствует формированию внимательного отношения к построению, приучает анализировать информацию. Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни. Если же подойти к этим проблемам с позиции научного развития, то станет, виден их глубокий жизненный смысл, и их необходимость.

Данный курс предполагает расширить представления об уже знакомых геометрических фигурах, помогает видеть их в более сложных конфигурациях; предусматривает решение несложных задач; отрабатывает практический навык построения геометрических фигур.

Привлекает особое внимание своей простотой, изяществом и бесконечным таинством. Задачи сопровождаемые красивыми чертежами, часто содержат неожиданные факты. В то же время решение их, как показывает практика, является одним из слабых мест в подготовке учащихся.

Изучая этот курс, учащиеся увидят геометрию с новой, неожиданной стороны: красивые интересные задачи, новые факты. При изучении курса предполагается компьютерная поддержка занятий и вовлечение в творческую деятельность учащихся. Все это дает возможность подготовить учащихся к переходу на другую ступень обучения; ориентировать учащихся на профили, связанные с математикой, составной частью которой является геометрия. Кроме этого, хорошая подготовка по геометрии в первую очередь развивает логическое мышление, а значит, создает условия качественного усвоения других предметов .


Значительная часть элективного курса основана на практической работе

темы распределены в нарастающей степени сложности и могут быть использованы при осуществление дифференцированного подхода.

Содержание курса позволяет ученику любого уровня обученности активно включатся в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя, поэтому при изучении акцент следует делать не столько на приобретение дополнительных знаний, сколько на развитее способности учащихся приобретать эти знания в результате построения.

Учитывая сильную загруженность детей курс не содержит сложных доказательств теорем, а включенный в программу материал имеет познавательный интерес для учащихся, который позволяет передать красоту математики. Нет необходимости требовать от учащихся запоминания всех фактов, имен, т. д. Достаточно того ,что в процессе изучения математики они ознакомятся коротко с историей ее развития, вспомнят эпоху, в которой прошло то или иное открытие, услышат имена выдающихся ученых. Не все, но многое из услышанного останется в памяти. Математика потеряет ореол «сухой» науки, а значит, станет несколько интереснее, такое расширение знаний будет только полезным, так как оно дает еще один толчок к пробуждению интереса к науки.

Вопросы, рассматриваемые в курсе , выходят за пределы объема обязательных знаний, но вместе с тем они тесно примыкают к основным вопросам программного материала.

Основными формами занятий могут быть уроки – практикумы на построение, лекции. Итоговое занятие можно провести в виде собеседования за круглым столом.

Цели изучения курса
по выбору, рассчитанного на учащихся 8 классов: 1)создание мотивации на выбор профиля, связанного с математикой;

2)систематизация, расширение и углубление знаний по планиметрии.

3) развитие мышления школьников, их интеллектуальных и творческих способностей, формирование геометрической компетентности.


Задачи курса:

1)развитие геометрического воображения и образного пространственного, логического мышления;

2)формирование навыков выполнения и применения компьютерных презентаций для усиления наглядности, привлекательности курса и развитию межпредметных связей;

3)повторение и углубления курса планиметрии;

4)воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.

.Результаты обучения.

Учащиеся должны уметь:

Выполнять геометрические построения;

Использовать возможности компьютера

Применять в своей работе различные источники учебной информации

Проявить себя в самостоятельной деятельности на основе использования исторического материала

Учащиеся должны знать:

замечательные точки, прямые , окружности, кривые.

Курс призван помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения, так и повысить уровень его общей математической культуры. Особое место в обучении следует отвести содержанию учебного материала, при котором вырабатываются практические навыки , стимулирующие познавательную активность учащихся.

Тематический план учебного материала.





Содержание курса

Кол-во

часов


Технология реализации

1

Описанная окружность. Биссектрисы, вписанная и вневписанные окружности. Высоты. Медианы. Ортоцентр. Ортотреугольник. Центроид

1

Презентация

Учителя. Практикум на построение


2

Прямая Эйлера. Изогональные точки. Точка Лемуана . Линии — симедианы


1

Лекция.Практикум

3

Окружность девяти точек.

1

Лекция

Практикум на построения

4

Точки Жергонна и Нагеля.


1

Лекция, практикум

5

Теорема Чевы. Прямые чевианы. Теорема Менелая. Теорема Морлея. Трисектрисы углов


1

Лекция, практикум

6.

Теорема Пифагора. Четыре доказательства теоремы Пифагора.


1

Лекция, практикум

7.

Задача Фаньяно. Точка Ферма—Торричелли.


1

Рассказ учащихся. Фронтальная работа с классом

8.

Алгебраические кривые: овал Кассини,

лемнискаты Бернулли, конхоида Никомеда

1

Демонстрация

опыта. Доказательство правильности построения.

9.

Механические кривые: брахистохроны, циклоида, таутохрона, эпициклоида, кардиоида, астроида.



1

Практикум на построение

10.

Ученик имеет возможность выступить с подготовленным сообщением: эллипс, циссоида Диоклеса, квадратриса, кривая Гиппия, «Пируэты» окружности, кривая Штейнера.

1

Круглый стол (презентации, доклады, буклеты,

11

Итоговое занятие . Подготовить сообщения (презентации, доклады, буклеты): гипотрохоиды и эпитрохоиды. Специально подобранными математическими зависимостями приготовить математический цветник.

1

Интересные чертежи

12

Резервный. Подведение итогов.

1







Итого

12






Занятие 1


Цели: Открыть тайны геометрии. Познакомить с замечательными точками, прямыми , окружностями, показать их построение . Способствовать формированию внимательного отношения к построению.


Описанная окружность.

Так называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника. Её центр обычно обозначают буквой О , а радиус — R (рис. 1). Чтобы убедиться в том, что такая окружность существует и является единственной для любого треугольника, обратите внимание: центр О — общая вершина трёх равнобедренных треугольников, основания которых стороны данного треугольника. Высоты этих треугольников, опущенные на основания, служат одновременно и их медианами. Таким образом, центр описанной окружности лежит на пересечении трёх перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых в их серединах. Они так и называются — серединные перпендикуляры. И обратно: поскольку каждый из трёх серединных перпендикуляров к сторонам треугольника состоит из точек, равноудалённых от концов стороны, к которой он проведён, точка пересечения любых двух из них находится на одинаковом расстоянии от всех трёх вершин, а значит, лежит на третьем перпендикуляре.


Итак, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке центре описанной вокруг него окружности. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри его, в прямоугольном — на гипотенузе, а у тупоугольного треугольника — вне его.


Биссектрисы, вписанная и вневписанные окружности.

Вписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся всех его

сторон (рис. 2). Другими словами, центр I вписанной окружности удалён от всех трёх сторон треугольника на одно и то же расстояние г, равное её радиусу. Множество точек внутри треугольника, равноудалённых от двух его сторон, есть биссектриса угла, образованного этими сторонами. Поэтому доказать, что вписанная в треугольник окружность существует и она единственная, можно так же, как было сделано в случае описанной окружности, только равноудалённость центра окружности от вершин надо заменить равноудалённостью от сторон, а серединные перпендикуляры — биссектрисами. Попутно устанавливается, что все три биссектрисы имеют единственную общую точку — центр 1.

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника (рис. 3), называются вневписанными. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Таким образом, шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три внешние пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.


Высоты. Прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника (рис. 4, а), в прямоугольном — совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном — находится вне треугольника на пересечении продолжений высот (рис. 4, 6).

Если Н — ортоцентр треугольника АВС, то любая из четырёх точек А, В, С и Н является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.


Докажем, что ортоцентр треугольника существует. На рис. 5 треугольник АВС — это серединный треугольник для А1В1С1 значит, высоты первого треугольника являются серединными перпендикулярами второго. Следовательно, они пересекаются в центре Н описанной


Рис 1

Рис 3

Рис 2


около второго треугольника окружности, и этот центр совпадает с ортоцентром треугольника АВС.

Рисунок 3 помогает вывести теорему о высотах из теоремы о биссектрисах. Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, на рисунке любой из центров четырёх окружностей (вневписанных и вписанной) является ортоцентром треугольника с вершинами в трёх других центрах, а точки А, В и С служат основаниями его высот. Можно как бы <перевернуть это наблюдение и доказать, что высоты произвольного треугольника — биссектрисы ортотреугольника, т. е. треугольника

Рис. 4. ортоцентр треугольника.

Рис. 4

Рис5


образованного основаниями высот, Отсюда следует, что они имеют общую точку.

Медианы.

Можно доказать, что точка Р, расположенная внутри треугольника АВС, лежит на медиане, проведённой к стороне ВС тогда и только тогда, когда площади треугольников РАВ и РАС равны (рис. 6, а). Исходя из этого и рассуждая так же, как при доказательствах теорем о биссектрисах и серединных перпендикулярах треугольника, убеждаемся в том, что и медианы пересекаются в одной точке — М (рис. 6, 6), причём все три треугольника, МАВ, МВС и МСА, имеют равную площадь или равновелики. Более того, в любом треугольнике точка М делит каждую медиану в одном и том же отношении 2: 1, считая от вершины.

Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадёт именно в эту точку.



Рис 6

Центр равных масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан — центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё последней попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии. Любопытно, что центр масс проволочного треугольного контура совпадает с другой точкой — с центром вписанной окружности его серединного треугольника.



следующая страница >>