litceyvib.ru 1 2 3

Занятие 2..

Цели: познакомить с прямой Эйлера, показать связь между ортоцентром и центром описанной окружности треугольника. Ввести новые понятия .


Прямая Эйлера.

Леонард Эйлер сделал целый ряд замечательных открытий в геометрии треугольника. Например, он доказал, что центроид М любого треугольника лежит на отрезке между центром О его описанной окружности и ортоцентром Н и делит этот отрезок в отношении ОМ : МН = 1: 2. Прямая ОН называется


Рис 7

прямой Эйлера данного треугольника (рис.7). Попробуйте доказать теорему о прямой Эйлера, пользуясь рис.5.


Изогональные точки.

Есть и другая интересная взаимосвязь между ортоцентром и центром описанной окружности треугольника. Можно показать, что,


прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис, проходят через центр описанной окружности,


т. е. содержат её радиусы (рис. 8). Справедлива и более общая теорема:


Если три прямые, проведённые из вершин треугольника, пересекаются

в одной точке, то и прямые, симметричные им относительно соответствующих биссектрис, тоже проходят через одну и ту же точку.


Подобные две точки называются изогональными. Таким образом, ортоцентр треугольника изогональными центру описанной окружности.


Рис 8


Рис 9

Отразив относительно биссектрис треугольника соответствующие медианы, получают новые замечательные линии — симедианы. Точка L их пересечения называется точкой Лемуана треугольника. Она является центроидом треугольника А 1В1С1, образованного её проекциями на стороны исходного треугольника (рис. 9).


Занятие 3.


Цели:
Познакомить с самым удивительным свойством этой окружности: она касается четырёх окружностей треугольника — вписанной и трёх вневписанных.

Продолжая рассуждения, связанные с прямой Эйлера, можно доказать, что


Середины сторон треугольника (точки 1, 5 и 7), основания его высот (точки 2,4 и 8) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки 3, б и 9) лежат на одной окружности (рис.10).


Её радиус равен половине радиуса описанной окружности, а центр F лежит посередине отрезка ОН. Окружность F называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера, или окружностью Фейербаха - по имени Карла Фейербаха, провинциального учителя математики из Германии, родного брата философа Людвига Фейербаха. К. Фейербах открыл


рис 10


Рис 11


ещё одно, самое удивительное свойство этой окружности: она касается четырёх окружностей треугольника — вписанной и трёх вневписанных (рис. 11).


Занятие 4


Цели:
Рассмотреть виды точек. Расширить представление о точки. Выстроить целостную строгую логическую систему усвоения построение точек. Познакомить с биографиями ученых.


Точки Жергонна и Нагеля.

Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в одной точке J (рис.12). Она называется точкой Жергонна.

Отрезки, соединяющие каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности, тоже пересекаются в одной точке N— точке Нагеля. Она интересна тем, что отрезок NI, где I — центр вписанной окружности, проходит через центроид М треугольника и делится им в отношении


NM : МI= 2:1 (рис. 12).

Рис 12

Сообщение учащихся об ученых .


Занятие 5


Цели:
знакомство с новым понятием прямыми- чевианами, трисектрисы. раскрыть таину применения теорем к биссектрисам внутренних и внешних углов треугольника.. Развивать графические способности учащихся


Теорема Чевы.

После такого изобилия теорем о трёх прямых, проходящих через одну точку возникает вопрос: нет ли какого-то общего способа доказывать аналогичные утверждения? Такой способ действительно есть. Его нашёл итальянский геометр и механик Джованни Чева,

Выберем на сторонах ВС, СА и АВ треутольника АВС точки А1, В1 и С1 и соединим их прямыми с противоположными вершинами. Такие прямые называют прямыми Чевы или чевианами. Теорема Чевы гласит (рис. 13, а):


Если три чевианы пересекаются в одной точке, то отношения, в которых их основания А1
, В1 и С1 делят стороны треугольника, удовлетворяют равенству ВА11С *СВ11А*АС11В=1 (*)

Данное соотношение будет выполняться и тогда, когда точка пересечения прямых лежит вне треугольника или все они параллельны. При этом две из трёх точек А1, В1 и С1 находятся на продолжениях сторон треугольника (рис. 13, 6, в). В таком случае говорят, что основания чевиан делят эти стороны в соответствующих отношениях внешним образом. Справедлива и обратная теорема:

Если точки А1, В1 и С1 на прямых, ограничивающих треугольник АВС, удовлетворяют условию Чевы, причём собственно на его сторонах лежат все три либо ровно одна из них, то соответствующие чевианы пересекаются в одной точке или параллельны.√



Из этой теоремы можно вывести все приведённые выше утверждения о пересечении трёх прямых в треугольнике.

Сообщение учащихся об ученых


Теорема Менелая.

При обсуждении теоремы Чевы на сторонах треугольника лежат либо все три основания чевиан, либо только одно из них. Без этой оговорки можно попасть в условия другой классической теоремы,

Рис.13


носящей имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (I‘—II вв.):


Если стороны ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжения пересекаются некоторой прямой в точках А1, В1 и С1 соответственно, то выполняется соотношение (*) (рис. 13, г).


Обратная теорема также справедлива. при этом ровно одна либо все три точки лежат на продолжениях сторон треугольника.

Для примера применим теоремы Чевы и Менелая к биссектрисам внутренних и внешних углов треугольника. Согласно известному свойству, биссектриса АD треугольника АВС делит сторону ВС на части, пропорциональные прилежащим к ним сторонам: ВD/DС = ВА/АС. Тоже верно и для биссектрисы АЕ (рис. 13, д): ВЕ/ЕС = = ВА/АС. Подставляя эти равенства для соответствующих биссектрис в теорему Чевы, получим уже знакомую нам теорему о том, что три внутренние или одна внутренняя и две внешние биссектрисы (т. е. биссектрисы внешних углов) пересекаются в одной точке. А из теоремы Менелая аналогично вытекает, что основания одной внешней и двух внутренних биссектрис, проведённых из разных вершин, лежат на одной прямой.


Теорема Морлея.

Эта красивая теорема была сформулирована в конце ХIХ столетия американцем Фрэнком Морлеем.

Проведём трисектрисы углов треугольника — прямые, которые делят углы на три равные части. Отметим точки пересечения пар трисектрис, прилежащих к каждой из сторон треугольника (рис.14). Отмеченные точки будут вершинами правильного треугольника.



Рис14

Воистину геометрия треугольника неисчерпаема, если такая жемчужина могла сохраниться незамеченной на протяжении более чем двух тысячелетий!


Занятие 6

Цели: показать учащимся, как математически верно (используя различные приемы) можно доказать одну теорему различными способами.


ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Формулы, связывающие между собой длины отрезков, площади, величины углов в фигурах, называют метрическими соотношениями. И пожалуй, самое знаменитое из таких соотношений — теорема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами прямоугольного треугольника:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.√




Представить себе эту теорему отдельно от имени великого грека уже невозможно, но на самом деле соотношение, которое она утверждает, было известно древним математикам за много веков до Пифагора. О наиболее известном частном случае теоремы —« египетском треугольнике» а со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42= 5 ) — говорится в папирусе, который историки относят приблизительно к 2000 г. до н. э. То же соотношение встречается и на вавилонских клинописных табличках, и в древнекитайских, и в древнеиндийских трактатах (см. статьи «Древний Египет», «Междуречье», «Древний Китай, «Средневековая Индия»). Однако в современной истории математики считается, что именно Пифагор дал его первое логически стройное доказательство.

Справедливо и утверждение, обратное теореме Пифагора:


Если стороны треугольника удовлетворяют равенству а2 + Ь2 = с2 , то этот треугольник прямоугольный.

Действительно, если такое равенство выполняется для какого-то треугольника, то он будет равен по трём сторонам прямоугольному треугольнику с катетами а и Ь.



Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше — в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.


ЧЕТЫРЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Рис 1,2 Рис 3,4

Со времён Пифагора появилось несколько сотен доказательств его знаменитой теоремы, так что она даже попала в Книгу рекордов Гиннесса. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного.

В «Началах» Евклида теорема дана в следующей формулировке:

площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Суть довольно сложного доказательства состоит в том, что больший квадрат предстаёт в виде суммы двух частей, равновеликих меньшим квадратам. Но можно и просто разрезать первый квадрат на такие куски, из которых составляются два других квадрата. Одно из подобных доказательств приведено на рис. 1. Его называют «шарнирным», потому что здесь меняют своё положение только две части, равные исходному треугольнику, причём они как бы прикреплены к остальной фигуре на шарнирах, вокруг которых поворачиваются.

Другой чисто геометрический способ прямого доказательства теоремы Пифагора — не разрезание, а дополнение квадратов до равных фигур равными же фигурами. Рис 2 иллюстрирует доказательство такого типа, данное Леонардо ла Винчи. (Попробуйте восстановить его по чертежу.)

В следующей группе доказательств теоремы Пифагора используются формулы для вычисления площади, т. е. геометрия в них сочетается с алгеброй. Одно из таких доказательств приведено в трактате индийского математика Х” в. Бхаскары. Оно знаменито тем, что весь текст к чертежу (рис. 3) состоит из единственного слова «Смотри!». Историки считают, что Бхаскара выражал площадь с2 квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму плошадей четырёх треугольников 4(аЬ/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов (а — Ь)2, т. е.




После упрощения это равенство превращается в знакомую формулу а2+ Ь2= с2.

В ряде доказательств используется подобие треугольников. Вот, возможно, наиболее характерное из таких доказательств. Высота, опушенная на гипотенузу, разбивает данный прямоугольный треугольник площади S на два ему подобных с площадями Sa, и Sb (рис. 4). При этом его стороны оказываются гипотенузами трёх треугольников. Площади треугольников относятся, как квадраты этих сторон: Sa:Sb:S=а222. НоSa,+Sb=5. Следовательно, а2 + Ь2= с2.

В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Вспомним формулу для расстояния между точками А(х1;y1) и В(х2 У2) в декартовых координатах: АВ= (x2 —x1 )2 + (y2 — y1)2 .С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны Ix2 —x11 и Iy2 — y11 ). Но, с другой стороны, если считать пары чисел (х; у) точками плоскости, тогда эта формула уже является определением расстояния. Из неё можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, — такие, как равенство и подобие фигур. Или, например, окружность. Она определяется как множество пар чисел (х; у), для которых (х-х0)2 +(y-yо)2 = соnst, где (хоо) — некоторая заданная точка (центр окружности).

Можно определить и все другие геометрические понятия в терминах расстояний: в частности, отрезок АВ — это множество таких точек С, что АС + СВ = АВ. А стоит добавить ещё одну координату и соответствующее слагаемое (z2 — z1)2 в формулу расстояния — и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометрическая структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.


Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos2 α + sin2 α = 1 — это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.


В геометрии треугольника есть несколько замечательных задач о наибольших и наименьших значениях связанных с ним величин, без которых рассказ о треугольнике будет неполным. При решении таких задач на первый план выступают соотношения между элементами треугольника, выражаемые неравенствами.


Занятие 7

Цели: Рассмотреть секреты магии решения задач Фаньяно и Ферма—Торричелли, используя не геометрические методы.


Неравенство треугольника. Это неравенство утверждает, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. При составлении современных курсов геометрии неравенство треугольника часто включается в систему аксиом, т. е. принимается без доказательства, хотя в <Началах> Евклида это теорема. В качестве аксиомы оно включается в список основных свойств расстояний: расстояние между двумя точками не больше суммы расстояний от них до любой третьей точки.

Из неравенства треугольника следует, что отрезок является кратчайшей из линий, соединяющих две точки. Именно это свойство используется при решении двух классических экстремальных задач из геометрии треугольника.

Задача Фаньяно. Требуется вписать треугольник минимального периметра в данный остроугольный треугольник. Эта задача называется задачей Фаньяно — по имени итальянского математика, опубликовавшего в 1755 г. её аналитическое решение. Искомым треугольником всегда будет ортотреугольник(рис.15).

Этот результат можно пояснить с помощью законов физики. Вспомним, что высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника. Иначе говоря, любые две стороны ортотреугольника образуют равные углы со стороной исходного треугольника, проходящей через их общую вершину. Поэтому луч света (или бильярдный шар), пущенный вдоль стороны ортотреугольника, отражает от сторон



Рис16

Рис 15


«большого» треугольника в соответствии с законом «угол падения равен углу отражения», будет раз за разом обегать ортотреугольник по периметру, т. е. периметр ортотреугольника и есть траектория такого луча, а свет, как известно, распространяется по кратчайшему пути.

Имеется ещё одна, «механическая, интерпретация задачи Фаньяно. Пусть треугольник сделан из проволоки, причём на каждую его сторону надето маленькое кольцо. Через кольца продета натянутая нить с пружинками (рис.16). Какое положение она займёт, когда сожмется максимально, если считать, что в системе нет трения? Конечно, то положение, при котором её длина минимальна. Учитывая, что сумма сил, действующих на каждое кольцо в окончательном положении нити, равна нулю, нетрудно вычислить, что отрезки нити будут составлять равные углы с соответствующими сторонами треугольника, откуда и следует, что нить образует ортотреугольник.

Конечно, такого рода рассуждения не могут служить геометрическими доказательствами, но они порой подсказывают решение задачи.

Задача Ферма—Торричелли.

Эта точка в треугольнике связана с именами сразу трёх выдающихся учёных прошлого. Впервые о ней говорилось в работах французского математика Пьера Ферма, который решал задачу о местоположении в треугольнике АВС такой точки Е, что сумма FА +F В + FС её расстояний до вершин была бы минимальной.

швейцарский геометр Якоб Штейнер рассматривал ту же проблему в несколько более общем виде: он пытался найти кратчайшую сеть дорог, соединяющих три пункта. Оказывается, что такая сеть всё равно должна состоять из трёх сходящихся в одной точке прямолинейных дорог, причём одна из этих дорог может сжаться в точку (как и в задаче Ферма). В такой формулировке, но уже для произвольного числа пунктов, задача приобретает и чисто практическое значение. Например, её приходится решать при прокладке кабельных сетей.


Разработано несколько алгоритмов построения кратчайших сетей для данного расположения соединяемых пунктов. Но эта задача имеет неприятную особенность: с увеличением числа пунктов чрезвычайно быстро возрастает количество операций, выполняемых компьютером при её решении, — как показательная функция от числа пунктов. В итоге даже на сверх мощных компьютерах за приемлемое время удаётся решить задачу только для двух-трёх десятков точек. Чтобы улучшить имеющиеся алгоритмы, математики и сегодня продолжают исследовать структуру кратчайших сетей.

Физическую модель для решения классической задачи Ферма можно сделать так: нарисуем треугольник на какой-нибудь доске, вобьём гвоздики в его вершинах, перекинем через каждый гвоздик нить с одинаковым грузом на конце и, наконец, свяжем свободные концы нитей в один узел . Когда грузы будут отпущены, они натянут нити. При этом общая длина отвесных частей нитей станет наибольшей, а сумма расстояний от узла до гвоздиков — наименьшей. Следовательно, узел установится в искомой точке. Поскольку на него будут действовать три равные по величине и уравновешивающие друг друга силы, направленные вдоль нитей, углы между нитями должны быть равны. Таким образом, стороны треугольника будут видны из точки Г под равными (по 120°) углами.

Точку треугольника, положение которой удовлетворяет этим условиям, построил италь янский учёный Эванджелиста Торричелли, известный как изобретатель ртутного барометра.



Рис. 17

Такая точка существует только в треугольниках с углами, не превосходящими 120°, и совпадает с точкой Ферма. Однако сама задача Ферма имеет решение и когда один из углов треугольника больше 120°. В этом случае точка Fсовпадает с вершиной тупого угла.

Точку Торричелли можно получить так: построим на сторонах треугольника вне его правильные треугольники (рис. 17) и соединим отрезком каждую вершину исходного треугольника с вершиной правильного треугольника, построенного на противоположной стороне. Полученные отрезки равны, образуют друг с другом равные углы (по 60°) и пересекаются в одной точке Т — точке Торричелли.



<< предыдущая страница   следующая страница >>